考点:数列的求和,等比数列的性质
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)当n=1时,2a
1=
--+1,解得a
1.当n≥2时,由S
n+a
n=-
n
2-
n+1,S
n-1+a
n-1=-
(n-1)2-(n-1)+1,两式相减即可证明;
(2)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出;
(3)由(1)可得a
n=
()n-n,可得c
n=(
)
n-a
n=n.
=
=
+,由于P=
2013 |
 |
i=1 |
单调递增,即可得出不超过P的最大整数的值.
解答:
(1)证明:当n=1时,2a
1=
--+1,解得a
1=-
.
当n≥2时,由S
n+a
n=-
n
2-
n+1,S
n-1+a
n-1=-
(n-1)2-(n-1)+1,两式相减可得2a
n-a
n-1=-n-1,化为2(a
n+n)=a
n-1+n-1,即
bn=bn-1.
∴数列{b
n}是等比数列;
(2)解:由(1)可得:b
n=
()n,
∴T
n=
+2×()2+
3×()3+…+
n()n,
∴
Tn=
()2+2×()3+…+
(n-1)×()n+
n×()n+1,
∴
Tn=
+()2+()3+…+
()n-n()n+1=
-
n()n+1=
1-(1+n)()n,
∴T
n=2-(2+n)
()n.
(3)由(1)可得a
n=
()n-n,
∴c
n=(
)
n-a
n=n.
∴
=
=
+,
由于P=
2013 |
 |
i=1 |
单调递增,
∴P>1
因此不超过P的最大整数的值是1.
点评:本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.