Question

6．已知数列a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）
（1）若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞$\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，求x的取值范围；
（2）求证：${a}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}$＞2（a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）把a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）代入a_2n-a_n＞$\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1），得到$\frac{7}{12}＞\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，然后利用对数式的性质可得x的取值范围；
（2）由${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，利用累加法可得${{a}_{n}}^{2}+\frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$$+\frac{7}{4}$．即要证原不等式成立，只需证$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{7}{4}$．再利用放缩法证得该结论．

解答 （1）解：∵a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
∴a_2n-a_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，
对于任意n≥2，a_2n-a_n的最小值为$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$．
若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞$\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
即$\frac{7}{12}＞\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
∴log_（a+1）x-1og_ax+1＜1恒成立，也就是log_（a+1）x-1og_ax＜0恒成立，
即log_（a+1）x＜1og_ax，
则$\frac{lgx}{lg（a+1）}＜\frac{lgx}{lga}$，
∵a＞1，∴lgx[lg（a+1）-lga]＞0，
∴x＞1．
故x的取值范围是（1，+∞）；
（2）证明：∵${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，
∴$（{a}_{n}-\frac{1}{n}）^{2}={{a}_{n-1}}^{2}$，即${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，
…
${{a}_{n-1}}^{2}-{{a}_{n-2}}^{2}=\frac{2{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}=\frac{2{a}_{3}}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$，
${{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=\frac{2{a}_{2}}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}$．
累加得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=2（\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）$$-（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}=2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}+\frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$$+\frac{7}{4}$．
要证原不等式成立，只需证$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{7}{4}$．
当n=1，2时，不等式成立．
当n≥3时，$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{2•3}+\frac{1}{3•4}+…+\frac{1}{（n-1）•n}$
=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}$．
∴${a}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}$＞2（a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）成立．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了不等式恒成立问题，考查数列不等式的证明，考查对所学知识的迁移能力，解答（2）的关键是利用${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，得到${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，同时注意放缩法的合理运用，属难题．