Question

设函数f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t2-6t+2(x∈R)
（1）当t=1时，求f（x）的最小值；
（2）若t∈R，将f（x）的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；
（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，f（x）=（sinx-1）²-4，故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．
（2）若t∈R，由f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三种情况分别求出f（x）的
最小值g（t）的解析式．
（3）由题意可得方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，分△=0和△＞0两种情况，分别求得求得
实数k的取值范围，再把得到的实数k的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）当t=1时，f（x）=-cos²x-2sinx+2-6+2=sin²x-2sinx-3=（sinx-1）²-4，
故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．
（2）若t∈R，∵f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
且-1≤sinx≤1．
当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
综上，g（t）=

2t2- 4t  + 2 ，   t ＜-1 t2- 6t + 1   ， -1≤t ≤1 2t2- 8t +2 ，   t ＞1

．
（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt 即 t²-6t+1=kt．由题意可得 
关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，
①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1≤

6+k

2

≤1，解得  k=-4，或k=-8．
若 k=-4，方程有两个相等的根t=1，若 k=-8，方程有两个相等的根t=-1．
②当△=（6+k）²-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由题意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
综合①②可得，当k≥-4，或k≤-8 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．
故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8[∪[-4，+∞）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．