Question

已知函数f（x）=x²-2ax-3a²．
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的最小值；
（3）是否存在实数a，对于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a=1，∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴函数的值域为[-4，+∞）．
（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为x=a．
当a＜1时，在区间[1，4]上函数单调递增，∴函数f（x）最小值为f（1）=1-2a-3a²；
当1≤a≤4时，函数f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，4]上单调递增，∴函数f（x）最小值为f（a）=-4a²；
当a＞4时，在区间[1，4]上函数单调递减，∴函数f（x）最小值为f（4）=16-8a-3a²；
（3）对于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等价于对于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立
由（2）知，或或
∴或a=1
∴．
分析：（1）把二次函数f（x）的解析式配方，利用配方法求函数的值域．
（2）配方，确定函数的对称轴，根据区间[1，4]，分类讨论，可求函数f（x）最小值；
（3）对于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等价于对于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立，故可求实数a的取值范围．
点评：本题考查求二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．