Question

4．正四面体ABCD边长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则$\begin{array}{l}→\\{AE}\end{array}•\begin{array}{l}→\\{AF}\end{array}$的值为（　　）

• A． a²
• B． $\frac{1}{2}{a^2}$
• C． $\frac{1}{4}{a^2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，代入$\begin{array}{l}→\\{AE}\end{array}•\begin{array}{l}→\\{AF}\end{array}$，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，
$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\begin{array}{l}→\\{AE}\end{array}•\begin{array}{l}→\\{AF}\end{array}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}$（a²cos60°+a²cos60°）
=$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．