【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点M(﹣3,﹣1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆C上一动点,当△PAB的面积最大时,求点P的坐标及△PAB的最大面积.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点M(﹣3,﹣1),
∴ ,解得a2=12,b2=4,
∴椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)将直线x﹣y﹣2=0代入 中,消去y得,x2﹣3x=0.
解得x=0或x=3.…(5分)
∴点A(0,﹣2),B(3,1),∴|AB|= =3
.
在椭圆C上求一点P,使△PAB的面积最大,则点P到直线l的距离最大.
设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b.
将y=x+b代入 ,整理得4x2+6bx+3(b2﹣4)=0.
令△=(6b)2﹣4×4×3(b2﹣4)=0,解得b=±4.
将b=±4代入方程4x2+6bx+3(b2﹣4)=0,解得x=±3.
由题意知当点P的坐标为(﹣3,1)时,△PAB的面积最大.
且点P(﹣3,1)到直线l的距离为d= =3
.
△PAB的最大面积为S= =9.
【解析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率为 ,且经过点M(﹣3,﹣1),列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(Ⅱ)将直线x﹣y﹣2=0代入
中,得,x2﹣3x=0.求出点A(0,﹣2),B(3,1),从而|AB|=3
,在椭圆C上求一点P,使△PAB的面积最大,则点P到直线l的距离最大.设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b.将y=x+b代入
,得4x2+6bx+3(b2﹣4)=0,由根的判别式求出点P(﹣3,1)时,△PAB的面积最大,由此能求出△PAB的最大面积.
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【题目】设函数f(x)=xlnx+ax,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,求整数b的最大值.
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【题目】甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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【题目】已知为奇函数,
为偶函数,且
.
(1)求及
的解析式及定义域;
(2)若关于的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)如果函数,若函数
有两个零点,求实数
的取值范围.
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【题目】在已知函数,
(其中
,
,
)的图象与
轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
,且图象上一个最低点为
(1)求的解析式;
(2)当时,求
的值域;
(3)求在
上的单调区间.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面
,
分别为
的中点,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求三棱锥与四棱锥
的体积之比.
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)已知f(x)在定义域上为减函数,若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0(k为常数)恒成立.求k的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系 中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程是
,圆
的极坐标方程是
.
(1)求 与
交点的极坐标;
(2)设 为
的圆心,
为
与
交点连线的中点,已知直线
的参数方程是
(
为参数),求
的值.
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