分析 (1)连结OE,则OE⊥PC,求出PC=2$\sqrt{7}$,A到PC的距离,从而得到OE,由此能求出CE的长.
(2)求出A到PD的距离、△PDC面积、A到平面PDC的距离,由此能求出二面角A-PD-C的余弦值.
解答 解:(1)在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面DEB,BD∩AC=O
连结OE,则OE⊥PC,
在Rt$△PAC中,PA=4,AC=2\sqrt{3}$,
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{7}$,
∴A到PC的距离${d}_{1}=\frac{2\sqrt{3}×4}{2\sqrt{7}}$=4$\sqrt{\frac{3}{7}}$,则OE=2$\sqrt{\frac{3}{7}}$,
在Rt△OEC中,CE2=OC2-OE2=3-4•$\frac{3}{7}$=$\frac{3×7-3×4}{7}$=$\frac{9}{7}$,
∴CE=$\frac{3}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$.
(2)在△PAD中,AD=2,PA=4,则PD=2$\sqrt{5}$,
∴A到PD的距离d2=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$,
又PC=2$\sqrt{7}$,DC=2,
∴△PDC面积S=$\frac{1}{4}\sqrt{(2•2\sqrt{5}•2)^{2}-((2\sqrt{5})^{2}+{2}^{2}-(2\sqrt{7})^{2})^{2}}$=$\sqrt{19}$,
在四面体A-PDC中,设A到平面PDC的距离为d3,
则$\frac{1}{3}•{d}_{3}•{S}_{△PDC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ADC}•PA$,∴${d}_{3}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$,
设二面角A-PD-C的平面角θ,sinθ=$\frac{{d}_{3}}{{d}_{2}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}{\frac{4}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$,
∴cosθ=-$\frac{2}{\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$.
∴二面角A-PD-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$.
点评 本题考查线段长的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
科目:高中数学 来源:2016-2017学年江西吉安一中高二上段考一数学(文)试卷(解析版) 题型:填空题
已知为等腰直角三角形,斜边上的中线,将沿折成的二面角,连结,则三棱锥的体积为__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | 1 | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [1,+∞] | B. | (-∞,1] | C. | (-∞,2] | D. | [2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{8}{3}$ | B. | 2 | C. | 8 | D. | 6 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{14}$ | B. | 5 | C. | $\sqrt{31}$ | D. | 25 |
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