Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=4，AC=2$\sqrt{3}$，BD=2，又点E在侧棱PC上，且PC⊥平面BDE．
（1）求线段CE的长； 
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OE，则OE⊥PC，求出PC=2$\sqrt{7}$，A到PC的距离，从而得到OE，由此能求出CE的长．
（2）求出A到PD的距离、△PDC面积、A到平面PDC的距离，由此能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面DEB，BD∩AC=O
连结OE，则OE⊥PC，
在Rt$△PAC中，PA=4，AC=2\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A到PC的距离${d}_{1}=\frac{2\sqrt{3}×4}{2\sqrt{7}}$=4$\sqrt{\frac{3}{7}}$，则OE=2$\sqrt{\frac{3}{7}}$，
在Rt△OEC中，CE²=OC²-OE²=3-4•$\frac{3}{7}$=$\frac{3×7-3×4}{7}$=$\frac{9}{7}$，
∴CE=$\frac{3}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
（2）在△PAD中，AD=2，PA=4，则PD=2$\sqrt{5}$，
∴A到PD的距离d₂=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
又PC=2$\sqrt{7}$，DC=2，
∴△PDC面积S=$\frac{1}{4}\sqrt{（2•2\sqrt{5}•2）^{2}-（（2\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
在四面体A-PDC中，设A到平面PDC的距离为d₃，
则$\frac{1}{3}•{d}_{3}•{S}_{△PDC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ADC}•PA$，∴${d}_{3}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$，
设二面角A-PD-C的平面角θ，sinθ=$\frac{{d}_{3}}{{d}_{2}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}{\frac{4}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$，
∴cosθ=-$\frac{2}{\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．