Question

已知点P（1，

3

）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一个最高点，且f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，求这个函数的解析式，并作出一个周期的图象．

Answer 1

分析：根据点P（1，

3

）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一个最高点，可知A=

3

，由f（9-x）=f（9+x）得函数的一条对称轴方程为x=9，根据曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，可知函数的周期，因此可求得函数的解析式；利用五点法列表，描点，即可画出函数的图象．

解答：解：∵点P（1，

3

）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一个最高点，
∴A=

3

，
∵f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，
∴x=9是曲线的一条对称轴，且

T

2

=8
∴T=16，
而T=

2π

ω

，ω=

π

8

，

π

8

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

3π

8

+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜

π

2

，
φ=

3π

8

∴f（x）=

3

sin（

π

8

x+

3π

8

），
其图象如图所示：

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法以及五点法作图，根据题意求出周期是解题的关键，考查运算能力和作图能力，属中档题．