Question

3．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B（0，2），且$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，过点D（4，0）作直线l交椭圆于不同两点P，Q，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

• A． -1＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜1
• D． -1＜k＜1

Answer 1

分析 F（c，0），A（a，0），B（0，2），由于$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，可得ca+4=$4\sqrt{2}$+4，又b=2，a²=b²+c²，可得椭圆C的方程．设直线l的方程为：y=k（x-4），与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，利用△＞0  即可得出．

解答 解：F（c，0），A（a，0），B（0，2），
∵$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，
∴ca+4=$4\sqrt{2}$+4，又b=2，a²=b²+c²，
解得a²=8，c²=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
设直线l的方程为：y=k（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，
∵直线l交椭圆于不同两点P，Q，
∴△=256k⁴-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，
化为：k²$＜\frac{1}{2}$，
解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l的斜率的取值范围是$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．