Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，命题p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1为假命题，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）若h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是与x无关的负数），判断函数h（x）有几个不同的零点，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）． ∴f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，联立解得：a=﹣6，b=9．
∴f（x）=x3﹣6x2+9x．
（II）命题p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1为假命题，等价于：命题：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1为真命题．∵g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，∴g（x）=﹣x3+3cx．
由命题：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1为真命题，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得： ．
又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．可得：函数g（x）在 ， 内为减函数，在 内为增函数．
∵函数g（x）为奇函数，且|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，∴只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，则：4c ≤1，解得c≤ ．
综上可得：c的取值范围是 ≤c≤ ．
（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是与x无关的负数），∴h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．
h′（x）= ﹣2x＜0，因此函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）至多有一个零点．
∵c＜0，∴（c﹣1）2＞1，0＜ ＜1，∴ =（c﹣1）2﹣ ＞0，h（1）=﹣1＜0．
∴函数h（x）在 内有一个零点，因此函数h（x）在（0，+∞）上恰有一个零点．
【解析】（I）f′（x）=3x2+2ax+b，由于函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）．可得f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，联立解得a，b．即可得出．（II）命题p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1为假命题，等价于：命题：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1为真命题．由g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，可得g（x）=﹣x3+3cx．由命题：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1为真命题，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得c范围．又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．利用单调性与奇偶性，只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，解得c，进而得出c的取值范围．（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是与x无关的负数），h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．h′（x）= ﹣2x＜0，因此函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）至多有一个零点．再利用函数零点判定定理即可判断出是否有零点．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．