Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11(x＞5)

，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；
（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

Answer 1

分析：（1）由题意得G（x）=2.8+x．由R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，f（x）=R（x）-G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．
（2）当0≤x≤5时，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．
（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．

解答：解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）
∵R(x)=

-0.4x2+4.2x(0≤x≤5) 11，(x＞5)

，…（4分）
∴f（x）=R（x）-G（x）
=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

．…（6分）
（2）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴当0≤x≤5时，由f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）
当x＞5时，由f（x）=8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．
∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）
（3）∵f（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

，
∴当x＞5时，函数f（x）递减，
∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）
当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）
所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）

点评：本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．