Question

【题目】已知函数 （其中a为非零实数），且方程 有且仅有一个实数根． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且仅有一个实数根（且该实数根非零），

所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，

解得a=2（此时实数根非零）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数解析式 ，

任取0＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

=

= ，

∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

【解析】（Ⅰ）根据二次函数的性质得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．