Question

【题目】已知抛物线C：y2=﹣4x． （Ⅰ）已知点M在抛物线C上，它与焦点的距离等于5，求点M的坐标；
（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）点M在抛物线C上，设 ，设焦点为F， 解得：y2=16，故点M（﹣4，4）或M（﹣4，﹣4）
（Ⅱ）由题意设直线l的方程：y=kx﹣k+2
由方程组 可得：ky2+4y+4k﹣8=0
①当k=0时，由（1）得y=2带入y2=﹣4x，x=﹣1，
此时直线与抛物线只有一个公共点．
②当k≠0时，（1）的判别式△=16﹣4k（4k﹣8）=﹣16（k2﹣2k﹣1）
当△=0时， 或 ，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当△＞0时， ，此时直线与抛物线有两个公共点；
当△＜0时， 或 ，此时直线与抛物线没有公共点
【解析】（Ⅰ）已知点M在抛物线C上，它与焦点的距离等于5，利用抛物线的定义，建立方程，即可求点M的坐标；（Ⅱ）由方程组 可得：ky2+4y+4k﹣8=0，利用判别式，即可得出结论．