【题目】已知抛物线C:y2=﹣4x. (Ⅰ)已知点M在抛物线C上,它与焦点的距离等于5,求点M的坐标;
(Ⅱ)直线l过定点P(1,2),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;两个公共点;没有公共点.
【答案】解:(Ⅰ)点M在抛物线C上,设 ,设焦点为F, 解得:y2=16,故点M(﹣4,4)或M(﹣4,﹣4)
(Ⅱ)由题意设直线l的方程:y=kx﹣k+2
由方程组 可得:ky2+4y+4k﹣8=0
①当k=0时,由(1)得y=2带入y2=﹣4x,x=﹣1,
此时直线与抛物线只有一个公共点.
②当k≠0时,(1)的判别式△=16﹣4k(4k﹣8)=﹣16(k2﹣2k﹣1)
当△=0时, 或 ,此时直线与抛物线只有一个公共点;
当△>0时, ,此时直线与抛物线有两个公共点;
当△<0时, 或 ,此时直线与抛物线没有公共点
【解析】(Ⅰ)已知点M在抛物线C上,它与焦点的距离等于5,利用抛物线的定义,建立方程,即可求点M的坐标;(Ⅱ)由方程组 可得:ky2+4y+4k﹣8=0,利用判别式,即可得出结论.
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【题目】已知动点P与双曲线 ﹣ =1的两个焦点F1 , F2所连线段的和为6 ,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若 =0,求点P的坐标;
(3)求角∠F1PF2余弦值的最小值.
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【题目】函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+ bx+ 的单调递增区间是( )
A.(﹣∞,2]
B. ,+∞)
C.[﹣2,3]
D. ,+∞)
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【题目】等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3 , a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项.
(1)求数列{an}﹑{bn}的通项公式;
(2)令cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|< )的最大值为2 ,最小值为﹣ ,周期为π,且图象过(0,﹣ ).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
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【题目】如图在四面体OABC中,OA,OB,OC两两垂直,且OB=OC=3,OA=4,给出如下判断: ①存在点D(O点除外),使得四面体DABC有三个面是直角三角形;
②存在点D,使得点O在四面体DABC外接球的球面上;
③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC;
④存在点D,使得四面体DABC是正棱锥;
⑤存在无数个点D,使得AD与BC垂直且相等.
其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号填上).
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【题目】已知函数f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+c.
(1)当c=19时,解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),求实数a,c的值.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点,A1O=2,AB⊥BC,AB=BC= 点P在线段A1B上,且cos∠PAO= ,则直线AP与平面A1AC所成角的正弦值为 .
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【题目】已知定义域为[0,e]的函数f(x)同时满足: ①对于任意的x∈[0,e],总有f(x)≥0;
②f(e)=e;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤e,则恒有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)证明:不等式f(x)≤e对任意x∈[0,e]恒成立;
(3)若对于任意x∈[0,e],总有4f2(x)﹣4(2e﹣a)f(x)+4e2﹣4ea+1≥0,求实数a的取值范围.
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