Question

1．锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（　　）
①sin3B=sinC
②$tan\frac{3B}{2}tan\frac{C}{2}=1$
③$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$
④$\frac{a}{b}∈（{\sqrt{3}，2}）$．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ①④

Answer 1

分析 由题意锐角三角形的性质，诱导公式、正弦定理逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：锐角三角形△ABC中，若A=2B，则B＜$\frac{π}{4}$．
由2B+B+C=π，∴C=π-3B，∴sin3B=sinC正确，即①正确．
再根据$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{3B}{2}$，可得tan$\frac{C}{2}$=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{3B}{2}$）=$\frac{1}{tan\frac{3B}{2}}$，∴tan$\frac{3B}{2}$•tan$\frac{C}{2}$=1，故②正确．
再根据C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，可得B＞$\frac{π}{6}$，故③$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$正确．
由$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=2cosB，且$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，可得cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{b}{a}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），故④不对．
故选：B．

点评 本题主要考查锐角三角形的性质，诱导公式、正弦定理的应用，属于中档题．