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精英家教网如图,双曲线的中心在坐标原点O,A,C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是(  )
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14
分析:利用双曲线的简单性质求出直线方程,求出三角形三个顶点的坐标,利用余弦定理求得cos∠BDF 的值.
解答:解:由题意得A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),
c
a
=2.
∴BF=c-a=a,BD 的方程为
x
-a
+
y
b
=1
,即  bx-ay+ab=0,
DC的方程为 
x
-c
y
-b
=1
,即 bx+cy+bc=0,即 bx+2ay+2ab=0,
bx - ay +ab = 0
bx +2ay + 2ab = 0 
得 D (-
4a
3
,-
b
3
),又 b=
c2a2
=
3
 a,
∴FD=
(-c+
4
3
a)
2
+
b2
9
=
7a2
9
,BD=
(-a+
4
3
a)
2
+
b2
9
=
4
9
a2

三角形BDF中,由余弦定理得 a2
7
9
a2+
4
9
a2-2
7a2
9
4a2
9
cos∠BDF,
∴cos∠BDF=
7
14

故选 C.
点评:本题考查求直线方程,求两直线的焦点坐标,余弦定理,以及双曲线的简单性质的应用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率e=
5
2

(Ⅰ)求证:|
OA
|、|
AB
|、|
OB
|
依次成等差数列;
(Ⅱ)若F(
5
,0)
,求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三天5月模拟理科数学试题 题型:解答题

如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率

(1)求证:依次成等差数列;

(2)若F(,0),求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度.

 

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如图,双曲线的中心在坐标原点O,A,C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是( )

A.
B.
C.
D.

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如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率
(I)求证:依次成等差数列;
(II)若,求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度.

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