Question

17．一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（　　）

• A． 12π
• B． 9π
• C． $4\sqrt{3}π$
• D． $\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O为球心，求出半径，即可得到体积．

解答 解：一个高为2的三棱锥P-ABC，如图所示，
PC的中点为O，连接OA，OB，
由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，
AB⊥BC，
可得BC⊥平面PAB，
即有BC⊥PB，
可得OA=OB=OC=OP，
即O为球心，半径为$\sqrt{3}$，
则球的体积为V=$\frac{4}{3}$π•（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥的外接球的体积，注意将三视图转化为直观图，确定球心是解题的关键，属于中档题．