Question

已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，M为该三角形所在平面内的一点，若a

MA

+b

MB

+c

MC

=

0

，则M是△ABC的（　　）

• A、内心
• B、重心
• C、垂心
• D、外心

Answer 1

考点：三角形五心

专题：计算题,平面向量及应用

分析：延长CM交AB于D，根据向量加法得：

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

，代入已知得：a（

MD

+

DA

）+b（

MD

+

DB

）+c

MC

=

0

，由两不共线的向量的和为零向量的结论：已知

a

，

b

不共线，若x

a

+y

b

=

0

，则x=y=0，再由内角平分线的判定定理的逆定理，得到CD为角平分线，同理可得AM，BM的延长线也是角平分线．即可判断M为内心．

解答： 解：M是三角形ABC的内心．
理由如下：已知a

MA

+b

MB

+c

MC

=

0

，延长CM交AB于D，
根据向量加法得：

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

，
代入已知得：a（

MD

+

DA

）+b（

MD

+

DB

）+c

MC

=

0

，
因为

MD

与

MC

共线，所以可设

MD

=k

MC

，
上式可化为（ka+kb+c）

MC

+（ a

DA

+b

DB

）=

0

，
由于

DA

与

DB

共线，

MC

与

DA

、

DB

不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，a

DA

+b

DB

）=

0

，
由a

DA

+b

DB

=

0

可知：

DA

与

DB

的长度之比为

b

a

，
所以由内角平分线定理的逆定理可得CD为∠ACB的平分线，
同理可证AM，BM的延长线也是角平分线．故M为内心．
故选A．

点评：本题考查平面向量及运用，考查三角形的内心的定义和内角平分线的判定定理的逆定理，考查向量的运算，属于中档题和易错题．