Question

已知向量

m

=（a+c，b），

n

=（a-c，b-a），且

m

⊥

n

，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二向量垂直可推断出

m

•

n

=0，进而求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得c．
（2）根据C和B表示出A，进而利用两角和公式化简整理后，根据A的范围确定sinA+sinB的范围．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得

m

•

n

=0得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0?a²+b²-c²=ab
由余弦定理得cosC=

a2+b2 -c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π∴C=

π

3

（2）∵C=

π

3

∴A+B=

2π

3

∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=

3

sin（A+

π

6

）
∵0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）≤

3

即

3

2

＜sinA+sinB≤

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值，平面向量的性质．考查了学生综合分析运用所学知识的能力．