Question

14．已知函数f（x）=（kx+a）e^x的极值点为-a-1，其中k，a∈R，且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）若?a∈[1，2]，函数f（x）在（b-e^a，2）上为增函数，求证：e²-3≤b＜e^a+2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出k的值，从而求出a的值，带入a的值，求出切线方程即可；
（2）问题转化为x≥-a-1对x∈（b-e^a，2）恒成立，根据-a-1≤b-e^a，即b≥e^a-a-1对a∈[1，2]恒成立，设g（a）=e^a-a-1，a∈[1，2]，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）无极值，故k≠0．
由f'（x）=（kx+a+k）e^x=0，
得$x=-\frac{a+k}{k}=-a-1$，
∴a+k=ak+k．
∵a≠0，∴k=1．
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$a=\frac{1}{3}$．
当a=3时，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，
∴l的方程为y=4x+3．
当$a=\frac{1}{3}$时，$f（x）=（x+\frac{1}{3}）{e^x}$，$f（0）=\frac{1}{3}$，
∴l的方程为$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
（2）证明：由题可知f'（x）=（x+a+1）e^x≥0对x∈（b-e^a，2）恒成立，
∵e^x＞0，∴x+a+1≥0，即x≥-a-1对x∈（b-e^a，2）恒成立，
∴-a-1≤b-e^a，即b≥e^a-a-1对a∈[1，2]恒成立．
设g（a）=e^a-a-1，a∈[1，2]，则g'（a）=e^a-1＞0，
∴g（a）在[1，2]上递增，∴$g{（a）_{max}}=g（2）={e^2}-3$，∴b≥e²-3．
又（b-e^a＜2，∴e²-3≤b＜e^a+2．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．