Question

已知点A（cosx，1+cos2x），B（-λ+

3

sinx，cosx），x∈（0，π），向量

a

=（1，0）．
（1）若向量

BA

与

a

共线，求实数x的值；
（2）若向量

BA

⊥

a

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由A（cosx，1+cos2x），B（-λ+

3

sinx，cosx），x∈（0，π），知

BA

=(cosx+λ-

3

sinx，1+cos2x-cosx)，由

a

=（1，0），向量

BA

与

a

共线，知1+cos2x-cosx=0，由此能求出实数x的值．
（II）由

BA

⊥

a

，知λ=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），由0＜x＜π，知-

π

6

＜x-

π

6

＜

5π

6

，故-

1

2

＜sin(x-

π

6

)≤1，由此能求出λ的取值范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（I）∵A（cosx，1+cos2x），B（-λ+

3

sinx，cosx），x∈（0，π），
∴

BA

=(cosx+λ-

3

sinx，1+cos2x-cosx)，
∵

a

=（1，0），向量

BA

与

a

共线，
∴1+cos2x-cosx=0，即2cos²x-cosx=0，
∴cosx=0，或cosx=

1

2

．
又∵x∈（0，π），∴x=

π

2

或x=

π

3

．
（II）∵

BA

⊥

a

，
∴λ=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），
∵0＜x＜π，∴-

π

6

＜x-

π

6

＜

5π

6

，
∴-

1

2

＜sin(x-

π

6

)≤1，
∴-1＜λ≤2，
∴λ的取值范围是（-1，2]．

点评：本题考查向量共线和向量平行的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．