Question

试在无穷等比数列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中找出一个无穷等比的子数列（由原数列中部分项按原来次序排列的数列），使它所有项的和为

1

7

，则此子数列的通项公式为

an=

1

8n

．

Answer 1

分析：设出无穷等比数列子数列的首项和公比，根据n趋于无穷大时，所有项的和的极限等于

a1

1-q

（|q|＜1），根据已知的所有项的项的和得出首项与公比的关系式，由首项和公比都为

1

2

的次幂，通过代入得到首项与公比的值，进而表示出此子数列的通项公式．

解答：解：设无穷等比的子数列的首项为a₁，公比为q，
由所有项的和为

1

7

，得到

a1

1-q

=

1

7

，即q=1-7a₁，
∵a₁和q都为

1

2

的次幂，
∴通过代入得到a1=

1

8

，q=

1

8

，
则此子数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1=

1

8n

．
故答案为：an=

1

8n

点评：此题考查了无穷项数列的和的极限等于

a1

1-q

（|q|＜1），等比数列的性质以及等比数列的通项公式，其中根据无穷数列的前n项的极限得出首项与公比的关系是解本题的关键．