精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知x∈[0,1],函数f(x)=x2-ln(x+
1
2
)
,g(x)=x3-3a2x-4a.
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≤-1,若?x1∈[0,1],总?x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围;
(3)对于任意的正整数n,证明ln(
1
n
+
1
2
)>
1
n2
-
2
n
-1.(注:[ln(x+
1
2
)]/=
1
x+
1
2
分析:(1)令f′(x)=0可得极值点,列出随x变化时f′(x),f(x)的变化表,由表可知单调区间,根据单调性可得最值,进而得到值域;
(2)利用导数可判断g(x)在[0,1]上的单调性,从而可求值域为[1-4a-3a2,-4a],由题意,得[1-4a-3a2,-4a]?[
1
4
,ln2]
,由此可得不等式组,解出即可;
(3)构造函数h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+
1
2
)
,利用导数可判断h(x)在[0,1]上的单调性,根据单调性可证h(x)>h(0)>0,整理该不等式后令x=
1
n
即可;
解答:解:(1)令f/(x)=2x-
1
x+
1
2
=0
,解得x=
1
2
,x=-1舍去.
由下表:
x 0 (0,
1
2
1
2
1
2
,1)
1
f'(x) - 0 +
f(x) ln2
1
4
1-ln
3
2
可知,f(x)的单调递减区间是(0,
1
2
),递增区间是(
1
2
,1); 
f(x)在
1
2
处取得极小值,也为最小值,
1
4
=ln
4e
1-ln
3
2
=ln
2e
3
<ln2,
故当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[
1
4
,ln2];
(2)∵g'(x)=3(x2-a2),
∴当a≤-1,x∈(0,1)时,g'(x)<3(1-a2)≤0,
∴g(x)为[0,1]上的减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]=[1-4a-3a2,-4a]. 
由题意,得[1-4a-3a2,-4a]?[
1
4
,ln2]

1-4a-3a2
1
4
-4a≥ln2
a≤-1
,解得a≤-
3
2

故a的取值范围为a≤-
3
2
.                               
(3)构造函数h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+
1
2
)

h′(x)=2-2x+
2
2x+1
=2(1-x)+
2
2x+1

当x∈[0,1]时,h′(x)>0,∴函数h(x)在[0,1]上单调递增,
又h(0)=1-ln2>0,
∴x∈[0,1]时,恒有h(x)>h(0)>0,即2x+1>x2-ln(x+
1
2
)
恒成立,
故对任意正整数n,取x=
1
n
∈[0,1]
,有ln(
1
n
+
1
2
)>
1
n2
-
2
n
-1
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值,考查转化思想,考查学生分析问题解决问题的能力,解决(3)问的关键是根据目标式恰当构造函数.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知x∈[0,1],函数f(x)=x2-ln(x+
12
)
,g(x)=x3-3a2x-4a.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和值域;
(Ⅱ)设a≤-1,若?x1∈[0,1],总存在,使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知x∈[0,1],则函数y=
x+2
-
1-x
的值域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知x∈[0,1],则函数y=
1-x
的值域是
[0,1]
[0,1]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知x∈[0,1],则函数y=
x+2
-
1-x
的值域是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案