分析:(1)令f′(x)=0可得极值点,列出随x变化时f′(x),f(x)的变化表,由表可知单调区间,根据单调性可得最值,进而得到值域;
(2)利用导数可判断g(x)在[0,1]上的单调性,从而可求值域为[1-4a-3a
2,-4a],由题意,得
[1-4a-3a2,-4a]?[,ln2],由此可得不等式组,解出即可;
(3)构造函数
h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+),利用导数可判断h(x)在[0,1]上的单调性,根据单调性可证h(x)>h(0)>0,整理该不等式后令x=
即可;
解答:解:(1)令
f/(x)=2x-=0,解得
x=,x=-1舍去.
由下表:
x |
0 |
(0,) |
|
(,1) |
1 |
f'(x) |
|
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
ln2 |
|
|
|
1-ln |
可知,f(x)的单调递减区间是(0,
),递增区间是(
,1);
f(x)在
处取得极小值,也为最小值,
又
=
ln<
1-ln=
ln<ln2,
故当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[
,ln2];
(2)∵g'(x)=3(x
2-a
2),
∴当a≤-1,x∈(0,1)时,g'(x)<3(1-a
2)≤0,
∴g(x)为[0,1]上的减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]=[1-4a-3a
2,-4a].
由题意,得
[1-4a-3a2,-4a]?[,ln2],
即
,解得a
≤-,
故a的取值范围为
a≤-.
(3)构造函数
h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+),
则
h′(x)=2-2x+=2(1-x)+,
当x∈[0,1]时,h′(x)>0,∴函数h(x)在[0,1]上单调递增,
又h(0)=1-ln2>0,
∴x∈[0,1]时,恒有h(x)>h(0)>0,即
2x+1>x2-ln(x+)恒成立,
故对任意正整数n,取
x=∈[0,1],有
ln(+)>--1.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值,考查转化思想,考查学生分析问题解决问题的能力,解决(3)问的关键是根据目标式恰当构造函数.