Question

已知函数f（x）=x⁴+bx³+cx²+dx+e（x∈R）在x=0和x=1处取得极值．
（1）求d的值及b，c的关系式（用c表示b），并指出c的取值范围；
（2）若函数f（x）在x=0处取得极大值
①判断c的取值范围；
②若此时函数f（x）在x=1时取得最小值，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导数，得f'（x）=2x³+3bx²+2cx+d
∵函数f（x）在x=0和x=1处取得极值，
∴可得d=0，b=-（c+1）
因此，f'（x）=2x³-2（c+1）x²+2cx=2x（x-1）（x-c）
∴当且仅当c≠0且c≠1时，函数在x=0和x=1处取得极值．
由此可得c的取值范围是{x|c≠0且c≠1}
（2）①∵函数f（x）在x=0处取得极大值
∴f（x）在x=0的左侧为增函数，在x=0的右侧为减函数，
因此，f'（x）在x=0的左侧大于0，在x=0的右侧小于于0，
又∵f'（x）=2x（x-1）（x-c），
∴f'（x）在（0，1）上为负数，得c＜0且f'（x）在（c，0）上为正数
综上所述，得c的取值范围是（∞，0）
②因为c＜0，得
当x＜c或0＜x＜1时，f'（x）＜0；当c＜x＜0或x＞1时，f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-∞，c）和（0，1）上为减函数；在（c，0）和（1，+∞）上为增函数
因此，函数的极小值为f（c）和f（1），并且它们中的较小值就是函数f（x）的最小值
∵函数f（x）在x=1时取得最小值，
∴f（c）≥f（1），即c⁴-（c+1）c³+c³+e≥-（c+1）+1+e
整理，得c⁴-2c³+2c-1≤0，即（c-1）³（c+1）≤0
解这个不等式，得-1≤c≤1
∵c的取值范围是（∞，0），
∴c∈[-1，0），即为所求c的取值范围．
分析：（1）函数f（x）在极值点处的导数等于0，由此建立关于b、c、d的方程组并解之，可得d的值和b，c的关系式，再根据导数的三个零点互不相等，可得实数c的取值范围；
（2）①函数f（x）在x=0处取得极大值，说明f'（x）在x=0的左侧大于0，在x=0的右侧小于于0，从而得到x=c这个导数为零的点必须位于x=0的左侧，由此即可得到c的取值范围；
②根据导数的正负判断f（x）的单调性，可得函数的极小值为f（c）和f（1），且它们中的较小值就是函数f（x）的最小值，由此得f（c）≥f（1），建立关于c的不等式，整理得（c-1）³（c+1）≤0，再结合c为负数，可得c的取值范围．
点评：本题给出多项式函数，在已知它的两个极值点的情况下求参数之间的关系式，并且讨论参数的取值范围，着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．