Question

10．设S_n={1，2，…，n}，若X是S_n的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”（规定φ的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．
（1）求证：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（2）求证：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）求n≥3时S_n的所有奇子集的容量和．

Answer 1

分析 （1）证明S_n的奇子集与偶子集一一对应，即可得出结论；
（2）证明每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的，每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数一样，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）由于每个元素在奇子集中都出现有2^n-1次，故可得奇子集的容量和．

解答 （1）证明：对于S_n的奇子集A，1∈A，取B=A/{1}，1∉A，取B=A∪{1}，则B为S_n的偶子集；S_n的偶子集B，1∈B，取A=B/{1}，1∉B，取A=B∪{1}，则A为S_n的奇子集，所以S_n的奇子集与偶子集一一对应，故个数相等；
（2）证明：对于i∈S_n，含i的S_n的子集有2^i-1个，其中一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的．
而对于元素1，只要把S_n的所有子集按是否还有3配对（即在上证明中把1换成3来证明），于是也可知1的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数一样，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）解：由于每个元素在奇子集中都出现有2^n-1次，故奇子集的容量和=（1+2+…+n）×2^n-1=n（n+1）×2^n-1．

点评 本题考查元素与集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．