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已知椭圆,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,P为椭圆C上一点(不是顶点),△PF1F2内一点G满足
(I)求椭圆C的离心率;
(II)若椭圆C短轴长为,过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点),求△F1AB面积的最大值.
【答案】分析:(I)根据,可得G是△PF1F2的重心,利用三角形的重心坐标公式,确定G与P坐标之间的关系,利用∵为椭圆上一点,即可求得椭圆C的离心率;
(II)先求出椭圆方程为,假设直线l:x=my+,两者联立,利用韦达定理,可表示出三角形的面积,再借助于函数的单调性,即可求得△F1AB面积的最大值.
解答:解:(I)∵


∴G是△PF1F2的重心
设P(x,y),则有,∴
∵P为椭圆上一点

∴3a2=4b2
∵b2=a2-c2
∴4c2=a2

∴椭圆C的离心率为
(II)∵若椭圆C短轴长为,∴
∵4c2=a2,∴4(a2-b2)=a2
∴a2=8,∴
∴椭圆方程为
设点A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+
,消去x,可得

==
当且仅当m=0时取等号,
∴△F1AB面积的最大值为6.
点评:本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查三角形面积的计算,解题的关键是利用向量知识,确定几何量的关系,利用直线与椭圆的联立,借助于韦达定理,确定三角形的面积.
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