Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆圆心M与y轴相切，并且与圆C：x²+y²-2x=0外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）过顶点H（-2，-1）做斜率为k的直线与M的轨迹交于不同两点A、B，再过定点S（1，0）做斜率为k的直线与M的轨迹交于不同两点C，D，并且A，B，C，D在y轴的同一侧，试探求$\frac{HA•HB}{CD}$是否为定值，请求出．若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据以点M为圆心的圆与圆x²+y²-2x=0外切且与y轴相切，建立方程，化简可求动点M的轨迹方程；
（2）设出直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），直线CD方程为y=tanα（x-1），分别代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到结论．

解答 解：（1）设M（x，y），圆C：x²+y²-2x=0的圆心C（1，0），半径为1，
由题意知$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化简得y²=4x，
故所求点M的轨迹方程为y²=4x；
（2）设出直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
其中k=tanα，设过S（1，0）即为焦点的直线CD方程为y=tanα（x-1），
将直线AB方程代入y²=4x，可得t²sin²α-t（2sinα+4cosα）+9=0，
即有t₁t₂=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$，即HA•HB=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$，
由直线CD方程代入y²=4x，可得tan²α•x²-x（2tan²α+4）+tan²α=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{2ta{n}^{2}α+4}{ta{n}^{2}α}$，
由抛物线的定义可得CD=x₁+x₂+p=$\frac{2ta{n}^{2}α+4}{ta{n}^{2}α}$+2=$\frac{4（1+ta{n}^{2}α）}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$，
则$\frac{HA•HB}{CD}$=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$•$\frac{si{n}^{2}α}{4}$=$\frac{9}{4}$．
则$\frac{HA•HB}{CD}$为定值，且为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．