Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ ，（a＞0）
（1）当a=2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2时，f（x）=lnx+ ，（x＞0），且f（1）=0，

又∵f（x）= ，（x＞0），

∴f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）= ，

故切线的斜率为y= （x﹣1），

即x﹣2y﹣1=0

（2）解：由题意，f′（x）= ﹣ = ，

∵a为大于零的常数，

若使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，

则使ax﹣1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，

即a﹣1≥0，故a≥1

（3）解：①当a≥1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，

则fmin（x）=f（1）=0；

②当0＜a≤ 时，f′（x）在区间[1，2]恒不大于0，

f（x）在区间[1，2]上单调递减，

则fmin（x）=f（2）=ln2﹣ ；

③当 ＜a＜1时，令f′（x）=0可解得，x= ∈（1，2）；

易知f（x）在区间[1， ]单调递减，在[ ，2]上单调递增，

则fmin（x）=f（ ）=ln +1﹣ ；

综上所述，

①当a≥1时，fmin（x）=0；

②当 ＜a＜1时，fmin（x）=ln +1﹣ ；

③当0＜a≤ 时，fmin（x）=ln2﹣

【解析】（1）根据a的值求得函数解析式，再根据f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）进而求得其切线方程；（2）由函数的单调递增区间可知f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，解不等式即可得a的取值范围；（3）求函数在一个区间上的最小值，先判断该区间上函数的单调性，不能确定时，需对不确定的量进行分类讨论.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．