Question

已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，则

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

的最小值是

34

．

Answer 1

分析：利用PM=PN，求出动点P的轨迹方程，把

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

转化为轨迹上的点，到原点与（5，-1）的距离之和的最小值．

解答：解：因为圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，所以P的轨迹为：C₁C₂的中垂线y=-

1

2

x+

5

2

上

a2+b2

+

(a-5)2+(b+1)2

表示点P到点C₁（0，0）和点B（5，-1）的距离之和
即：y=|C₁P|+|BP|
∵|C₁P|=|C₂P|
∴y=|C₂P|+|BP|
根据两边之和大于第三边
∴y=|C₂P|+|BP|≥|C₂B|=

(2-5)2+(4+1)2

=

34

．
故答案为：

34

．

点评：本题是中档题，考查轨迹方程的求法，转化思想的应用，计算能力，注意C₁，B在直线的同一侧，是易错点．