Question

已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x₂>x₁>0时，f(x₂)>f(x₁)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．

Answer 1

（1）0，2，3（2）(2,4]．

试题分析：解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，
f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3.                6
(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，
又∵对于函数f(x)有x₂>x₁>0时f(x₂)>f(x₁)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．         10
∴⇒2<x≤4.
∴x的取值范围为(2,4]．               14
点评：主要是考查了赋值法来求解函数的值，以及单调性的判定，属于基础题。