Question

（文科）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，AA₁=4，点M在线段CC₁上．
（1）求异面直线A₁B与AC所成角的大小；
（2）若直线AM与平面ABC所成角为

π

4

，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性质可得直线A₁B与A₁C₁所成的角即为所求然后在三角形A₁C₁B利用余弦定理即可得解．
（2）由于多面体ABM-A₁B₁C₁的不规则性故可利用VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC因此需利用直线AM与平面ABC所成角为

π

4

来确定点M的位置后问题就解决了．

解答：解：（1）连接BC₁则由于在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AC∥A₁C₁故异面直线A₁B与AC所成角即为直线A₁B与A₁C₁所成的角
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，AA₁=4
∴BC₁=2

5

，A₁B=2

5

，A1C1=2

2

∴cos∠BA₁C₁=

BA12+A1C12-BC12

2BA1A1C1

=

10

10

∴异面直线A₁B与AC所成角即为arccos

10

10

（2）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=

π

4

∵BC=2
∴MC=2
∵VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC
∴VABM-A1B1C1=

1

2

×2×2×4-

1

3

×

1

2

×2×2×2=

20

3

即多面体ABM-A₁B₁C₁的体积为

20

3

点评：本题主要考查了异面直线所成的角和几何体体积的求解．解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角而第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体ABM-A₁B₁C₁的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）！