Question

已知三棱锥S—ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，若将此三棱锥沿侧棱展成平面图形恰好可以形成一个边长为的正方形．

   （1）求证：顶点在底面ABC的射影是底面的垂心；         

   （2）求二面角S-AB-C的大小．

Answer 1

（1）证明略（2）二面角S-AB-C的大小为

解析:

（1）作,连AO、BO，

因为侧棱SA、SB、SC两两垂直，易证、、

．

所以，由三垂线定理的逆定理，AOBC，同理可证BOAC．

所以O为高线的交点，即为垂心． …………………6分

   （2）由于三棱锥的展开图成边长为正方形，则B、C分别和的中点，

即SB=SC=，所以SA=，AB=AC=，BC=．

在三棱锥S—ABC中，过S作SD垂直AB于D，连CD。因为，

根据三垂线定理，CDAB，所以即为二面角求二面角S-AB-C的平面角． 

在三角形SAB中，，SC=，SA=，AC=，所以SD=

所以,

即二面角S-AB-C的大小为． …………………12分