Question

平面内点P与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（其中a＞0）连线的斜率之积为非零常数m，已知点P的轨迹是椭圆C，离心率是．
（1）求m的值；
（2）设椭圆的焦点在x轴上，若过点（2，3）且斜率为-1的直线被椭圆C所截线段的长度为，求此椭圆的焦点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x和y的关系式，对k的范围进行分类讨论，看k的范围根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得m的值．
（2）设出所求直线方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a值，从而解决问题．
解答：解：（1）依题意可知 •=m，整理得y²-mx²=-ma²，
当m＜0时，方程的轨迹为椭圆：，
当椭圆的焦点在x轴上时，∴c=
∴e===，∴m=-；
当椭圆的焦点在y轴上时，c=，
∴e===，
∴m=-2．
（2）过点（2，3）且斜率为-1的直线方程为y-3=-（x-2），
联立得：，从而有：3x²-20x+50-a²=0，
∵△=20²-4×3×（50-a²）=4（3a²-50）≥0，
设两交点的坐标分别为：（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=，
所截线段的长度为d===，
解得a=，
此时焦点坐标为（±，0）．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合，考查了学生对圆锥曲线标准方程的求解和应用．属于中档题．