Question

数列{a_n}的通项a_n=（-1）ⁿ⁺¹•n²，观察以下规律：
a₁=1
a₁+a₂=1-4=-3=-（1+2）
a₁+a₂+a₃=1-4+9=6=1+2+3
…
试写出求数列{a_n}的前n项和S_n的公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（-1）ⁿ⁺¹•

n(n+1)

2

证明：（1）当n=1时，S_n=1命题成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即S_k=（-1）^k+1•

k(k+1)

2

则当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=（-1）^k+1•

k(k+1)

2

+（-1）^k+2•（k+1）²，
=（-1）^k+2

k+1

2

•(k+2)
，即命题也成立
综上（1）（2），命题成立．