Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．
（1）判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明函数f（x）=log₂x属于集合M，并找出一个常数k；
（3）已知函数f（x）=log_ax（ a＞1）与y=x的图象有公共点，证明f（x）=log_ax∈M．

Answer 1

分析：（1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）得出a（k-1）x=

k

2

恒成立，与假设矛盾，从而得出结论；
（2）由于当log₂（kx）=

k

2

+log₂x成立时，等价于log₂k=

k

2

，此式显然当k=4时此式成立，可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x），从而得出答案．
（3）因为y=log_ax（ a＞1）与y=x有交点，由图象知，y=log_ax与y=

x

2

必有交点．从而存在k，f（kx）=log_a（kx）=log_ak+log_ax=

k

2

+f（x），成立．

解答：解：（1）若f（x）=ax+b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f（kx）=akx+b=

k

2

+f（x），
即a（k-1）x=

k

2

恒成立，得

k-1=0 k=0

无解，所以f（x）∉M．
（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x，则log₂k=

k

2

，k=4，k=2时等式恒成立，
所以f（x）=log₂x∈M．
（3）因为y=log_ax（ a＞1）与y=x有交点，由图象知，y=log_ax与y=

x

2

必有交点．
设log_ak=

k

2

，则f（kx）=log_a（kx）=log_ak+log_ax=

k

2

+f（x），
所以f（x）∈M．

点评：本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．