Question

6．设函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R．
（1）求m，n的值（用a表示）；
（2）已知角α的顶点与直角坐标系x Oy中的原点 O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 A（m-1，2n+6），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$的值．

Answer 1

分析 （1）由题可得函数f（x）=-（x-1）²+1+a，而0≤x≤3，再利用二次函数的性质求得最大值m、最小值n．
（2）由条件可得点A的坐标为（a，2a），故tanα=2，所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$，运算求得结果．

解答 解：（1）由题可得函数f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a的图象的对称轴为 x=1，
结合 0≤x≤3，利用二次函数的性质可得，函数的最大值 m=f（1）=1+a，最小值n=f（3）=a-3．
（2）由角β的终边经过点A（m-1，2n+6），结合m=1+a，n=a-3，可得点A的坐标为（a，2a），故tanα=2，
所以$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}+{cos^2}α$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于中档题．