Question

1．已知函数f（x）=x²+bx+c，对于任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）=x²-5x+4．

Answer 1

分析 由f（sinα）≥0知，x∈[-1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[-1，1]上单调递减，从而便可得到f（-1）=10，这样便可得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{1-b+c=10}\end{array}\right.$，解出b，c即可得出f（x）．

解答 解：由已知条件知，x∈[-1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；
∴f（1）=0，f（x）在[-1，1]上单调递减；
f（sinα）的最大值为10；
∴f（-1）=10；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{1-b+c=10}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-5x+4．
故答案为：x²-5x+4．

点评 考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．