Question

设p，q为实数，α，β是方程x²-px+q=0的两个实根，数列{x_n}满足x₁=p，x₂=p²-q，x_n=px_n-1-qx_n-2（n=3，4，…）．
（1）证明：α+β=p，αβ=q；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若p=1，，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由求根公式，不妨设α＜β，得
∴，
．

（2）设x_n-sx_n-1=t（x_n-1-sx_n-2），则x_n=（s+t）x_n-1-stx_n-2，由x_n=px_n-1-qx_n-2
得，
消去t，得s²-ps+q=0，
∴s是方程x²-px+q=0的根，由题意可知，s₁=α，s₂=β
①当α≠β时，此时方程组的解为或
∴x_n-αx_n-1=β（x_n-1-αx_n-2），x_n-βx_n-1=α（x_n-1-βx_n-2），
即{x_n-t₁x_n-1}、{x_n-t₂x_n-1}分别是公比为s₁=α、s₂=β的等比数列，
由等比数列性质可得x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2，x_n-βx_n-1=（x₂-βx₁）α^n-2，
两式相减，得（β-α）x_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2-（x₂-βx₁）α^n-2
∵x₂=p²-q，x₁=p，
∴x₂=α²+β²+αβ，x₁=α+β
∴（x₂-αx₁）β^n-2=ⲕβ^n-2=βⁿ，（x₂-βx₁）α^n-2=Ვα^n-2=αⁿ
∴（β-α）x_n-1=βⁿ-αⁿ，
即∴，∴

②当α=β时，即方程x²-px+q=0有重根，∴p²-4q=0，
即（s+t）²-4st=0，得（s-t）²=0，
∴s=t，不妨设s=t=α，由①可知x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2，
∵α=β，∴x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）α^n-2=αⁿ
即∴x_n=αx_n-1+αⁿ，等式两边同时除以αⁿ，
得，
即
∴数列是以1为公差的等差数列，
∴，
∴x_n=nαⁿ+αⁿ
综上所述，．
，
==．

（3）把p=1，代入x²-px+q=0，得，解得，∴．
分析：（1）设α＜β，由根与系数的关系可证得答案，
（2）设x_n-sx_n-1=t（x_n-1-sx_n-2），由题意知，由此解得s₁=α，s₂=β，由此入手可以推导出{x_n}的前n项和S_n．
（3）把p=1，代入x²-px+q=0，得，解得，由此可知．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细计算．