Question

16．若函数f（x）=x²+ax+b，a、b∈R的两个零点x₁、x₂满足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），试求a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数零点的取值范围，建立不等式关系，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=x²+ax+b，a、b∈R的两个零点x₁、x₂满足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-a+b＞0\\ 1+a+b＜0\\ 4+2a+b＜0\\ 16+4a+b＞0\end{array}\right.$，
作出可行域如图：$\left\{\begin{array}{l}1-a+b=0\\ 16+4a+b=0\end{array}\right.$，可得A（-3，-4），∴a+2b=-11
$\left\{\begin{array}{l}1+a+b=0\\ 16+4a+b=0\end{array}\right.$，解得B（-5，4），∴a+2b=3，
即-11＜a+2b＜3．

点评 本题主要考查函数的零点，利用一元二次函数和线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．