Question

6．设1＜x＜2，则$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{lnx}{x}$）²，$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$的大小关系是（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（用“＜”连接）

Answer 1

分析 构造函数，f（x）=x-lnx，利用导数比较得到0＜$\frac{lnx}{x}$＜1，再比较即可．

解答 解：令f（x）=x-lnx（1＜x＜2），则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴函数y=f（x）（1＜x＜2）为增函数，
∴f（x）＞f（1）=1＞0，
∴x＞lnx＞0
∴0＜$\frac{lnx}{x}$＜1，
∴（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$，
∵$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{lnx}{x}$=$\frac{2lnx-xlnx}{{x}^{2}}$=$\frac{（2-x）lnx}{{x}^{2}}$＞0
∴（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$
故答案为：（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$

点评 本题考查了不等式的大小比较，关键是构造函数，属于中档题．