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11.如图,矩形ABCD中,$\frac{AB}{AD}$=λ(λ>1),将其沿AC翻折,使点D到达点E的位置,且二面角C-AB-E为直二面角.
(1)求证:平面ACE⊥平面BCE;
(2)设F是BE的中点,二面角E-AC-F的平面角的大小为θ,当λ∈[2,3]时,求cosθ的取值范围.

分析 (Ⅰ)推导出AB⊥BC,BC⊥AE,从而AE⊥平面BCE,由此能证明平面ACE⊥平面BCE.
(Ⅱ)以E为坐标原点,以AD长为一个单位长度,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出cosθ的取值范围.

解答 (本题15分)
证明:(Ⅰ)∵二面角C-AB-E为直二面角,AB⊥BC,
∴BC⊥AE平面,∴BC⊥AE…(2分)
∵AE⊥CE,BC∩CE=C,
∴AE⊥平面BCE…(4分)
∵AE?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCE…(6分)
解:(Ⅱ)如图,以E为坐标原点,以AD长为一个单位长度,
建立如图空间直角坐标系,
则AB=λ$A(0,1,0),B(\sqrt{{λ^2}-1},0,0),C(\sqrt{{λ^2}-1},0,1),E(0,0,0),F(\frac{{\sqrt{{λ^2}-1}}}{2},0,0)$…(8分)
则$\overrightarrow{EA}=(0,1,0),\overrightarrow{EC}=(\sqrt{{λ^2}-1},0,1)$
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow m=(x,y,z)$
则$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ \sqrt{{λ^2}-1}•x+z=0\end{array}\right.$,取x=1,则$\overrightarrow m=(1,0,-\sqrt{{λ^2}-1})$…(10分)
同理设平面FAC的法向量为$\overrightarrow n=(2,\sqrt{{λ^2}-1},-\sqrt{{λ^2}-1})$…(12分)
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{{λ^2}+1}}{{λ•\sqrt{2({λ^2}+1)}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\sqrt{1+\frac{1}{λ^2}}$…(14分)
∵$λ∈[2,3]∴cosθ∈[\frac{{\sqrt{5}}}{3},\frac{{\sqrt{10}}}{4}]$…(15分)

点评 本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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