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已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).

(1)证明:直线l与圆相交;

(2)求直线l被圆截得的弦长最小时的直线l的方程.

 

【答案】

2xy-5=0.

【解析】(1)按直线系;(2)由线线垂直,先求斜率,再用点斜式.

 解:(1)证明:直线l的方程可化为(xy-4)+m(2xy-7)=0.

∴ 直线l恒过定点A(3,1).              (5分)

∵(3-1)2+(1-2)2=5<25,

∴点A是圆C内部一定点,从而直线l与圆始终有两个公共点,

即直线与圆相交.                                                 (8分)

(2)圆心为C(1,2),要使截得的弦长最短,当且仅当lAC

C(1,2),A(3,1),所以

进而, 直线l的方程为y-1=2(x-3),即2xy-5=0.              (12分)

 

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