Question

14．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，满足$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是$\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$，利用两角和的正弦公式即可得出sinA=sinC，从而得到A=C，再根据b=c，从而△ABC为等边三角形．根据${\overrightarrow{AB}}^{2}=（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）^{2}$即可得到${\overrightarrow{AB}}^{2}=5-4cosθ$，这时候可以表示出${S}_{△ABC}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ$，S_△AOB=sinθ，从而可得到${S}_{四边形OACB}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+2sin（θ-\frac{π}{3}）$，可说明$sin（θ-\frac{π}{3}）$最大值为1，从而便可得出平面四边形OACB面积的最大值．

解答 解：解：∵△ABC中，$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$；
∴sinBcosA=sinA-sinAcosB；
∴sinBcosA+cosBsinA=sinA；
∴sin（A+B）=sinC=sinA；
∴A=C；
又b=c；
∴△ABC为等边三角形，如图所示：
则：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$；
∴$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{OA}{|}^{2}-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=1+4-4cosθ=5-4cosθ；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AB}|•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ$；
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}•OB•OA•sinθ=sinθ$；
∴S_{四边形OACB}=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ+sinθ$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2sin（θ-\frac{π}{3}）$；
∵0＜θ＜π；
∴$-\frac{π}{3}＜θ-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$；
∴$θ-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{5π}{6}$时，sin$（θ-\frac{π}{3}）$取最大值1；
∴平面四边形OACB面积的最大值为$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2=\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查两角和差的正弦公式，三角函数的诱导公式，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算，三角形的面积公式．