【题目】某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如下图所示的频率分布直方图.
(I)写出a的值;
(II)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;
(III)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.
【答案】(I).a=0.03.(II).870人.
(III)所以X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 |
P |
E(X)=.
【解析】试题分析:(1)根据各矩形面积之和为 ,可求得 的值;(2)先根据直方图算出初中生中,阅读时间不小于个小时的学生频率以及高中生中,阅读时间不小于个小时的学生频率,结合总人数可估计该校所有学生中,阅读时间不小于个小时的学生人数;(3)的可能取值,利用组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得的数学期望.
试题解析:(I).a=0.03.
(II)由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名.
因为初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.02+0.005)×10=0.25,
所以所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人,
同理,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35,学生人数约有0.35×1200=420人.
所以该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.
(III).初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×60=3人.
同理,高中生中,阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.005×10)×40=2人.
故X的可能取值为l,2,3.
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 |
P |
所以E(X)=1×+2×+3×=.
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【题目】某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示。
(1)求第3、4、5组的频率;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。
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【题目】若曲线C上任意一点与直线上任意一点的距离都大于1,则称曲线C远离”直线,在下列曲线中,“远离”直线:y=2x的曲线有___________(写出所有符合条件的曲线的编号)
①曲线C:;②曲线C:;③曲线C:;
④曲线C:;⑤曲线C:.
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【题目】已知A、B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则的取值范围是( )
A. [,0) B. [,0] C. [,1) D. [,1]
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【题目】如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,四边形CC1D1D为矩形,已知AB⊥BC1,AD=4,AB=2,BC=1.
(I)求证:BC1∥平面ADD1;
(II)若DD1=2,求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值;
(III)设P为线段C1D上的一个动点(端点除外),判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由.
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【题目】在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下:
如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.
则
由向量数量积的坐标表示,有:
设的夹角为θ,则
另一方面,由图3.1—3(1)可知,;由图可知,
.于是.
所以,也有,
所以,对于任意角有:()
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.
有了公式以后,我们只要知道的值,就可以求得的值了.
阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:
(1)判断是否正确?(不需要证明)
(2)证明:
(3)利用以上结论求函数的单调区间.
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