已知椭圆的离心率为,且经过点,圆的直径为的长轴.如图,是椭圆短轴端点,动直线过点且与圆交于两点,垂直于交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求 面积的最大值,并求此时直线的方程.
(1) (2)
解析试题分析:(1)已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; (2) 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.
试题解析:(1)由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,故,
解得,
所以椭圆的方程是
(2)因为直线且都过点
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,
所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦
由得, ,
所以,
,
所以,
令,则,
,
当,即时,等号成立,
故面积的最大值为,此时直线的方程为,
②当斜率为0时,即,此时,
当的斜率不存在时,不合题意;
综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.
考点:直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0.(m∈R).
(1)试求m的值,使圆C的面积最小;
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(1,-2)的直线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0.
(1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围;
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知圆:和圆:
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
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