Question

【题目】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）设点Q满足 ，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于 ？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA

（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，

故BD=4， ．

又设PO=x，则 ， ，

所以O（0，0，0），P（0，0，x）， ， ，

故 ，

所以 ，

当 时， ．此时

设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知， ，则 ， ， ， ．

∴ ， ，

∵ ，∴ ．

∴ ，∴ ．

设平面PBD的法向量为 ，则 ．

∵ ， ，∴

取x=1，解得：y=0，z=1，所以 ．

设直线OQ与平面E所成的角θ，

∴ = ．

又∵λ＞0∴ ．∵ ，∴ ．

因此直线OQ与平面E所成的角大于 ，即结论成立．

【解析】（1）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得 BD⊥平面POA；（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz，设PO=x，求出 时， ，此时 ，进一步求点Q的坐标，求出平面PBD的法向量 ，利用向量的夹角公式，可证直线OQ与平面E所成的角大于 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．