Question

我们对数列作如下定义，如果?n∈N^*，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为6，则a₁+a₂+a₃+…+a₉=

18

．

Answer 1

分析：根据“等积数列”的概念，a₁=1，a₂=2，公积为6，可求得a₃，a₄，…a₉，利用数列的求和公式即可求得答案．

解答：解：依题意，数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，
∴a₁•a₂•a₃=6，即1×2a₃=6，
∴a₃=3．
同理可求a₄=1，a₅=2，a₆=3，…
∴{a_n}是以3为周期的数列，
∴a₁=a₄=a₇=a₁₀=1，
a₂=a₅=a₈=a₁₁=2，
a₃=a₆=a₉=a₁₂=3．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₉=（1+2+3）×3=18．
故答案为：18．

点评：本题考查数列的求和，求得{a_n}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力．