Question

（2012•淮南二模）动点P（x，y）满足的区域为：

x-y+1≥0 x+y-5≥0 2x-y-4≤0

，若幂函数f（x）=x^a，（a为常数）的图象与动点P所在的区域有公共点，则a的取值范围是（　　）

A．[log₂3，+∞]

B．[log₃2，log₂3]

C．[log₃2，+∞）

D．（-∞，log₃2]∪[log₂3，+∞）

Answer 1

分析：本题需要作出题中不等式组所表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．分别在a＜0和a＞0时，对函数y=x^a的单调性加以讨论，结合幂函数的特性加以推理，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x-y+1≥0 x+y-5≥0 2x-y-4≤0

表示的区域，
为如图的△ABC及其内部，其中A（2，3），B（3，2），C（5，6）
当a＞0时，函数图象经过点B（3，2）时，表达式为3^a=2，解得，a=log₃2
在此基础上让a值变大时，图象在第一象限的图象变得陡峭，但不能超越了点A，
函数图象经过点A（2，3）时，表达式为2^a=3，解得，a=log₂3，故a∈[log₃2，log₂3]，
当a＜0时，由于函数图象始终经过点（1，1），函数图象不会和该区域有公共点．
由以上的讨论，可得a∈[log₃2，log₂3]
故选B

点评：本题为幂函数的图象经过不等式组表示的平面区域为例，讨论参数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和幂函数的基本性质等知识，属于中档题．