Question

（2006•宣武区一模）设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N^*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且Tn=

Sn

3•2n-1

，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，可求得x=1，或x=2，则D_n内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；
（Ⅱ）先求出S_n，从而可得T_n，通过作差可求得T_n的最大项，则m大于等于最大项；

解答：解：（I）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2，
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴an=3n(n∈N*)；
（II）∵Sn=3(1+2+3+…+n)=

3n(n+1)

2

，

∴Tn= n(n+1) 2n ∴Tn+1-Tn= (n+1)(n+2) 2n+1 - n(n+1) 2n = (n+1)(2-n) 2n+1

∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，且T1=1＜T2=T3=

3

2

，
∴T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，故m≥T2=

3

2

；

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查线性规划的基本知识，考查学生分析解决问题的能力．