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(本小题满分13分)

已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线与抛物线分别相交于A,B两点.

(Ⅰ)写出抛物线的标准方程;

(Ⅱ)若,求直线的方程;

(Ⅲ)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.

 

【答案】

(1)(2)(3)

【解析】(Ⅰ)由题意,抛物线的方程为:,                                  …………2分

(Ⅱ)设直线的方程为:.

联立,消去,得 ,                     ……………3分

显然,设

则                   ①

                         ②                                       …………………4分

,所以      ③                                         …………………5分

由①② ③消去,得    ,               

故直线的方程为 .                               …………………6分

(Ⅲ)设,则中点为, 因为两点关于直线对称,

所以,即,解之得,                          …………………8分

将其代入抛物线方程,得:

,所以,.                                                ………………………9分

联立 ,消去,得:

.                                           ………………………10分

,得

,即,                                  …………………12分

代入上式并化简,得

,所以,即,   

因此,椭圆长轴长的最小值为.                                           ………………………13分

 

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