Question

设向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=

a

•(

a

+

b

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

2

+

2

2

cos（2x+

π

4

），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅲ）由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，故2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，结合函数图象可得函数的最小值和函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=

a

•(

a

+

b

)=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+

2

2

cos（2x+

π

4

），
故函数的周期等于

2π

2

=π．
（Ⅱ）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，故2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，故当2x+

π

4

=-

π

4

时，函数取得最小值为1，当 2x+

π

4

=

π

2

时，函数取得最大值为

3+ 2

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的增区间，属于中档题．